Download e-book for iPad: Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: Eine Einführung by Jürgen Appell

By Jürgen Appell

ISBN-10: 3540889027

ISBN-13: 9783540889021

Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung in die Theorie der reellen Funktionen einer und mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand derer guy die Bedeutung mathematischer Sätze besonders intestine erkennen kann.

In den ersten drei Kapiteln werden die wesentlichen Ergebnisse über stetige, differenzierbare und integrierbare Funktionen zusammengestellt.

Das vierte Kapitel geht etwas über den üblichen Analysisstoff hinaus und ist "merkwürdigen" Teilmengen der reellen Achse und zugehörigen Funktionen gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünften und sechsten Kapitel behandelt.

Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aussagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vielen Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden. Über die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein weiteres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels. Es ist daher auch sehr intestine als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet.

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Für y, z ∈ (x − δ, x + δ) gilt ebenfalls die Abschätzung |f (y) − f (z)| < 1/n. Dies zeigt, dass x innerer Punkt von R \ An ist, und damit ist die Abgeschlossenheit von An bewiesen. 33) als abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen dargestellt, und hieraus folgt die Behauptung. 25 hat bemerkenswerte Konsequenzen. 12. 25 in gewisser Weise umkehren: Zu jeder Fσ -Menge U ⊆ R gibt es eine Funktion f : R → R mit U (f ) = U , s. 19 im vierten Kapitel. Man kann also sagen, dass Fσ -Mengen genau „die“ Unstetigkeitsmengen reeller Funktionen sind.

T2n−1 < 1. Ergänzt durch t0 := 0 und t2n := 1 bilden diese Punkte dann eine Zerlegung Z0 = {t0 , t1 , t3 , . . , t2n−1 , t2n } des Intervalls [0, 1]. Für k = 1, 2, . . , n − 1 wählen wir weitere Punkte t2k ∈ (t2k−1 , t2k+1 )\Q. Für die Zerlegung Z = {t0 , t1 , t2 , . . , t2n−2 , t2n−1 , t2n } ∈ Z([0, 1]) bekommen wir dann 2n 2n 2−j = |f (sj ) − f (sj−1 )| = 2 j=1 j=1 1 − 12 1 − 12 2n =2 1− 1 2n 2 . Da wir den letzten Ausdruck durch genügend große Wahl von n beliebig nahe an 2 heranbringen können, haben wir gezeigt, dass f auf [0, 1] mindestens die Gesamtvariation 2 hat.

Es ist relativ leicht zu beweisen, dass die Summe f + g und die Komposition g ◦ f zweier monoton wachsender Funktionen f und g wieder monoton wächst, und entsprechend für monoton fallende Funktionen f und g. Außerdem ist g ◦ f monoton fallend, falls f monoton wächst und g monoton fällt oder umgekehrt. Das einfache Beispiel der Funktionen f (x) = g(x) = x auf R zeigt, dass im Unterschied zur Summe das Produkt zweier monoton wachsender Funktionen nicht monoton wachsend sein muss. 41. Seien f, g : [0, 1] → R definiert durch f (x) := x2 und g(x) := 1 − x.

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by Donald
4.2

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