Analysis: Eine Einführung für Mathematiker und Informatiker by Gerald Schmieder (auth.) PDF

By Gerald Schmieder (auth.)

ISBN-10: 3322892107

ISBN-13: 9783322892102

ISBN-10: 3528054182

ISBN-13: 9783528054182

Prof. Dr. Gerald Schmieder lehrt am facebook Mathematik der Universität Oldenburg. Sein Arbeitsgebiet ist die Funktionentheorie.

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P(n) = nn: (a

Der nachste Satz ist die Antwort auf die Frage, unter welchen Gegebenheiten die Reihenfolge der Summanden einer Reihe keinen EinfluB auf Konvergenz und Grenzwert besitzt. 10 Die Reihe Lk=l ak mit ak E C sei absolut konvergent. Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe, und zwar gegen dense/ben Grenzwert. Beweis: in drei Schritten. 1. Es gelte ak E R~o fur aIle kEN. Wir geben eine Bijektion 8 : N -+ N vor. Die zur Umordnung gebildete Teilsummenfolge s~ = Lk=l a5(k) ist monoton steigend und beschrankt durch L~1 ak = s, damit konvergent und es gilt s' Da L~1 = n_oo lim s'n< s.

Bei diesem Beispiel versagt also das Quotientenkriterium, nicht dagegen das Wurzelkriterium. Wir erhalten namlich V"IaJ = fUr k ungerade 2 fiir k ! { {j ~ = -¥ fiir k gerade 5 Unendliche Reihen 56 Also ist lim sup ~ = -21 < 1 " .... 00 und damit folgt aus dem Wurzelkriterium die Konvergenz der Reihe. Beweis des Quotientenkriteriums: Die Aussage lim sup Ia"+1 I < 1 ale " .... 00 ist gleichbedeutend mit 3q E R : 0 < q < 1 II Ia"+11 :5 q a" fUr fast aile k. Es dad gleich angenommen werden (andernfaIls lassen wir die Reihe spater beginnen) la"+1I:5q (kEN) a" Behauptung: Mit M := ~ gilt la,,1 :5 q" .

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by Joseph
4.0

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