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By Stefan Hildebrandt

ISBN-10: 3540253688

ISBN-13: 9783540253686

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Dann gilt I1 ⊃ I2 ⊃ I3 ⊃ . . h. (7) a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · ≤ bm ≤ · · · ≤ b3 ≤ b2 ≤ b1 . Sei A := {a1 , a2 , . . } die Menge der linken Randpunkte und B := {b1 , b2 , . . } die Menge der rechten Randpunkte. Die Mengen A und B sind nichtleer und beschr¨ ankt. Setze a := sup A und b := inf B. 7 Absolutbetrag. Nullfolgen. Intervallschachtelungen 37 gilt, weil alle bm obere Schranken von A und alle an untere Schranken von B sind. h. a = b ∈ In f¨ ur jedes n ∈ N . Ist nun c irgendeine reelle Zahl mit c ∈ In f¨ ur alle n ∈ N, so folgt wegen a = sup A und b = inf B, daß a ≤ c ≤ b ist und daher a = b = c gilt.

Von Intervallen 1 ), 2n In = [an , an + n an = ν=1 2−n → zν , 2ν zν ∈ {0, 1} , mit ξ ∈ In+1 ⊂ In f¨ ur alle n ∈ N0 und |In | = 0. Damit ist ξ der eindeutig bestimmte Punkt, der von der Intervallschachtelung {In } mit In := [an , an + 2−n ) erfaßt wird. Deshalb ordnet man ξ ∈ [0, 1) die Dualdarstellung (2) 0, z1 z2 z3 . . zn . . und x ≥ 0 die Dualdarstellung (3) Zp Zp−1 . . Z1 Z0 , z1 z2 . . zn . . mit Zj , zν ∈ {0, 1} zu. Hierbei ist ausgeschlossen, daß ab einer gewissen Stelle n ∈ N nach dem Komma alle Ziffern gleich 1 sind, denn dann w¨ are ξ einer der Halbierungspunkte“; diese ” werden aber dem rechts angrenzenden Halbierungsintervall zugeschlagen.

Setze a := sup A und b := inf B. 7 Absolutbetrag. Nullfolgen. Intervallschachtelungen 37 gilt, weil alle bm obere Schranken von A und alle an untere Schranken von B sind. h. a = b ∈ In f¨ ur jedes n ∈ N . Ist nun c irgendeine reelle Zahl mit c ∈ In f¨ ur alle n ∈ N, so folgt wegen a = sup A und b = inf B, daß a ≤ c ≤ b ist und daher a = b = c gilt. Folglich erfaßt {In } genau einen Punkt aus R. Die geometrische Interpretation von Satz 5 ist, daß die Zahlengerade keine L¨ocher hat, also vollst¨ andig“ im Sinne der geometrischen Intuition ist.

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by John
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