Download e-book for iPad: Analyse complexe pour la Licence 3: Cours et exercices by Patrice Tauvel

By Patrice Tauvel

ISBN-10: 2100500740

ISBN-13: 9782100500741

Cours et exercices corrigés sur los angeles théorie des fonctions d'une variable complexe, mettant en valeur los angeles place privilégiée de l'analyse complexe, située entre los angeles géométrie différentielle, los angeles topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.

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7 Fonction exponentielle 43 Cherchons s’il existe une série entière an tn de rayon de convergence R > 0, dont la somme S vérifie S(0) = 1 et, pour |t| < R : (1 + t)S (t) − αS(t) = 0. 4 (i), que l’unique solution est α(α − 1) · · · (α − n + 1) n t . n! La règle de d’Alembert montre que le rayon de convergence de cette série entière est 1. D’où, pour t ∈ ] − 1, 1[ : (1 + t)α = 1 + ∞ α(α − 1) · · · (α − n + 1) n t . n! 1. 4 par ∞ zn · n=0 n! D’après ce que l’on a déjà dit, cette série a un rayon de convergence infini.

Etablir : 1 f (t) dt = lim x→+∞ 0 1 ∞ (1)n−1 n! n=1 e(nx(1−t) f (t) dt . 6. Pour n ∈ N∗ et (x, y) ∈ R2 , on pose : 1 −n(x2 +y2 ) e . n2 ∞ n=1 fn et la différentiabilité de la somme F de fn (x, y) = Etudier la convergence de la série cette série. 7. Existence et calcul pour x > 0 de ∞ 1 n! n=1 x (ln t)n dt. 0 SOLUTIONS DES EXERCICES 0 vérifiant |f (x)| A pour tout x ∈ [a, b]. On a |f1 (x)| A(x − a). ]−1 . © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 1. ]−1 pour x ∈ [a, b] et n série fn est normalement convergente sur [a, b].

Si a +∞ n+1 up un une série convergente à termes réels strictement positifs. On et vn = un /(Rn−1 )a , où a ∈ R. 0, prouver la convergence de vn . 2. En étudiant xn = − ln(1 − vn ), montrer la divergence de pour a > 1. 3. En utilisant une intégrale, prouver la convergence de vn pour a = 1, puis vn si 0 < a < 1. 5. Soient a, b ∈ R tels que 0 < a < 1 < b. Si n ∈ N∗ , on note αn le © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. nombre de chiffres dans l’écriture décimale de n. Comparer les règles de Cauchy et de d’Alembert en les appliquant à la série de terme général un = an−αn bαn (1+αn )/2 .

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by George
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